数学魔术《数字根九》的奥秘

《数字根九》这个数学魔术是我在初中时买的一本书上学到的。这本书收藏了许多奇妙有趣的小游戏和故事，但遗憾的是，几年前弄丢了。学会数字根九后，我向初中的同学表演了几次，收获了不少称赞。大学乃至工作后，每当需要我上台表演节目时，我都会选择表演这个小游戏—唱歌跳舞对我而言实在是太难。

魔术的内容

这个魔术表演起来很简单，仅需要一位参与者。

首先表演者要求参与者随机想一串比较长的数字，例如 2024835016。然后再让参与者将这串数字打乱重新排列，假设重新排列为 8251603402—即使将 0 排在最前面也没问题。然后使用两数中较大的一个减去较小的一个，得到差值 6226768386。前面说到的这些数字，表演者是不需要知道的（保持魔术的神秘感）。

最后让参与者删掉差值里面一个非零数字（假设为 2），把剩下的数字（626768386）逐个报给表演者（可不按顺序）。表演者可根据这些剩下的数字猜出参与者删掉的是数字是几。

魔术的原理

这个数学魔术本质上是一个数字根问题。数字根又叫数根，是正整数的一个性质。计算方法是将正整数的各个位上的位数相加，如果相加得到的数字大于等于 10，则继续将结果的各位数相加，直到得到一个小于 10 的数字，即为原正整数的数字根。

在上面提到的魔术里，参与者将剩下的数字 626768386 报给表演者后。表演者计算这个数字的数字根为 7。然后用 9 减去 7 得到 2，就是参与者删掉的数字。如果 9 减去数字根得到的数字为 0，则参与者删掉的数字是 9。一个数字加上 9 后，它的数字根是不变的。

数字 x 的数字根 y 的计算公式为：

$$ y = mod(a-1, 9) + 1 $$

假设我们有一串数字 a，以及将 a 的各位数字打乱顺序后得到的数字 b。根据数字根的加和计算方法，a 和 b 的数字根是相同的，且 a - b 的数字根为 9，这就是魔术的数学原理。下面我们证明该原理的真实性。

要证明 a - b 的数字根为 9，我们需要证明：

$$ ((a - b) - 1) mod 9 + 1 = 9 $$

证明过程如下：

$$ ((a-b)-1)mod9+1 = ((a-b)mod9 - 1mod9)mod9 + 1 $$

而

$$ (a-b)mod9 = (amod9 -bmod9)mod9 = 0 $$

所以

$$ ((a-b)-1)mod9+1 = (0 - 1mod9)mod9 + 1 = (-1)mod9 + 1 = 9 $$

即需要证明的等式成立，魔术原理得证。